题目内容

设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点，
（1）设椭圆C上的点（
3
，
3
2
）到F1，F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，KPN试探究kPM•KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．
（1）由于点(
3
，
3
2
)在椭圆上，
(
3
)2
a2
+
(
3
2
)2
b2
=1
2a=4，
椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）
（2）设KF1的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y）
把K的坐标代入椭圆
x2
4
+
y2
3
=1中得
(2x+1)2
4
+
(2y)2
3
=1
线段KF1的中点B的轨迹方程为(x+
1
2
)2+
y2
3
4
=1
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M（x0，y0）N（-x0，-y0），p（x，y）
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，
得
x02
a2
+
y02
b2
=1，
x2
a2
+
y2
b2
=1
kPM=
y-y0
x-x0
，KPN=
y+y0
x+x0

kPM•KPN=
y-y0
x-x0
•
y+y0
x+x0
=
y2-y02
x2-x02
=-
b2
a2

kPM•KPN的值与点P及直线L无关
练习册系列答案
相关题目
椭圆比椭圆焦点在轴上的椭圆更接近于圆，求的范围。
若点P到定点（0，10）与到定直线y =的距离之比是，则点P的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
△ABC的顶点A（-5，0）、B（5，0），△ABC的周长为22，则顶点C的轨迹方程是（　　）
A．
x2
36
+
y2
11
=1		B．
x2
25
+
y2
11
=1
C．
x2
36
+
y2
11
=1(y≠0)		D．
x2
9
+
y2
16
=1(y≠0)
（B题）已知圆C的方程为（x-1）2+y2=9，点p为圆上一动点，定点A（-1，0），线段AP的垂直平分线与直线CP交于点M，则为点M的轨迹为（　　）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
已知焦点在x轴上的椭圆，长轴长为4，右焦点到右顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为（　　）
A．
x2
4
+y2=1		B．
x2
4
+
y2
3
=1		C．
x2
4
+
y2
2
=1		D．
x2
3
+
y2
4
=1
焦点坐标是（-2，0）、（2，0），且短轴长为2
6
的椭圆方程是（　　）
A．
x2
9
+
y2
6
=1		B．
y2
9
+
x2
6
=1		C．
x2
10
+
y2
6
=1		D．
y2
10
+
x2
6
=1
如图：已知椭圆A，B，C是长轴长为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O，且
AC
•
BC
=0，|
BC
|=2|
AC
|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如果椭圆上两点P，Q使得直线CP，CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使
PQ
=λ
AB
？请给出证明．
若双曲线的对称轴为坐标轴，实轴长与虚轴长的和为14，焦距为10，则焦点在x轴上的双曲线的方程为（　　）
A．
x2
9
+
y2
16
=1
B．
x2
25
+
y2
16
=1
C．
x2
9
-
y2
16
=1或
x2
16
-
y2
9
=1
D．以上都不对

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