题目内容
【题目】已知 ,函数
.
(Ⅰ)若,求函数
的值域;
(Ⅱ)若函数在
上不单调,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若是函数
(
为实数)的其中两个零点,且
,求当
变化时,
的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)4
【解析】试题分析:(1)由,得
然后分段求值域即可;(2)分类讨论a,明确函数的单调区间,从而得到实数
的取值范围;(3) 对a的取值进行分类讨论,分别用a表示
,分析其单调性后,可得
的取值范围,进而得到最大值.
试题解析:
(Ⅰ)解:由,得
当
时,
,
当时,
,
函数
的值域是
.
(Ⅱ)解:
当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数在
,
上单调递增,在
上单调递减;当
时,函数在
上单调递减,在
上单调递增;
.
(III)解: 记
,
.当
时,方程
的根分别为
;当
时,方程
的根分别为
.
,
.
(1)当时, ①当
时,
.
②当时,
.
(2)当时,
.
综上所述, 的最大值为4.
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