Question

【题目】已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个顶点坐标为（0，1），其离心率为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上一点P满足∠F1PF2=60°，其中F1 ， F2为椭圆的左右焦点，求△F1PF2的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设椭圆的标准方程为 （a＞b＞0），

椭圆的一个顶点为（0，1）则b=1，

由椭圆的离心率e= = = ，解得：a2=3，

椭圆的标准方程为

（2）

解：设丨PF1丨=n，丨PF2丨=m，∠F1PF2=60°，

由余弦定理可知：丨F1F2丨2=丨PF1丨2+丨PF2丨2﹣2丨PF1丨丨PF1丨cos60°，

4c2=m2+n2﹣2mncos60°=（m+n）2﹣3mn=4a2﹣3mn，

则4×（ ）2=4a2﹣3mn，解得：mn= ，

即丨PF1丨丨PF1丨= ，

△F1PF2的面积S= ×丨PF1丨丨PF1丨×sin∠F1PF2，

∴ ，

△F1PF2的面积

【解析】（1）设椭圆的方程，则b=1，根据椭圆的离心率即可求得a的值，即可求得椭圆方程；（2）根据余弦定理，即可求得丨PF1丨丨PF1丨，利用三角形的面积公式即可求得△F1PF2的面积．