题目内容
【题目】(文科做)已知函数f(x)=x﹣ ﹣(a+2)lnx,其中实数a≥0.
(1)若a=0,求函数f(x)在x∈[1,3]上的最值;
(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x﹣2lnx,∴f′(x)= ,
令f′(x)=0,∴x=2.列表如下,
x | 1 | (1,2) | 2 | (2,3) | 3 |
f'(x) | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | 1 | ↘ | 2﹣2ln2 | ↗ | 3﹣2ln3 |
从上表可知,
∵f(3)﹣f(1)=2﹣2ln3<0,∴f(1)>f(3),
函数f(x)在区间[1,3]上的最大值是1,最小值为2﹣2ln2
(2)解: ,
①当a>2时,x∈(0,2)∪(a,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(2,a)时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调增区间为(0,2),(a,+∞),单调减区间为(2,a);
②当a=2时,∵ ,
∴f(x)的单调增区间为(0,+∞);
③当0<a<2时,x∈(0,a)∪(2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(a,2)时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调增区间为(0,a),(2,+∞),单调减区间为(a,2);
综上,当a>2时,f(x)的单调增区间为(0,2),(a,+∞),单调减区间为(2,a);
当a=2时,f(x)的单调增区间为(0,+∞);
当0<a<2时,f(x)的单调增区间为(0,a),(2,+∞),单调减区间为(a,2)
【解析】(1)求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数在闭区间上的最值即可;(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间即可.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能得出正确答案.
