题目内容
【题目】如图所示,有一块半径长为1米的半圆形钢板,现要从中截取一个内接等腰 梯形部件ABCD,设梯形部件ABCD的面积为平方米.
(1)按下列要求写出函数关系式:
①设(米),将
表示成
的函数关系式;
②设,将
表示成
的函数关系式.
(2)求梯形部件ABCD面积的最大值.
【答案】(1)①,②
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)①梯形上底和下底确定,故需表示梯形高即可.过点C作于E,则在
中,
,故梯形面积为
;②思路与第一问相同,不同的是变量的选取差异,在
中,
,则梯形上、下底分别为
和2,高为
,故梯形面积为
;(2)以
为例,函数解析式变形为
,利用导数求被开方数的最大值即可.
试题解析:如图所示,以直径所在的直线为
轴,线段
中垂线为
轴,建立平面直角坐标系,过点C作
于E,
(1)①∵,∴
,
∴
4分
②∵,∴
,
∴, 8分
(说明:若函数的定义域漏写或错误,则一个扣1分)
(2)(方法1)∴,
令,
则, 10分
令,
,
(舍). 12分
∴当时,
,∴函数在(0,
)上单调递增,
当时,
,∴函数在(
,1)上单调递减, 14分
所以当时,
有最大值
,
16分
答:梯形部件面积的最大值为
平方米.
(方法2) ∴
, 10分
令,得
,即
,
(舍), 12分
∴当时,
,∴函数在
上单调递增,
当时,
,∴函数在
上单调递减 , 14分
所以当时,
16分
答:梯形部件ABCD面积的最大值为平方米.
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