题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,底面为菱形,且.

(1)证明:平面平面

(2)有一动点在底面的四条边上移动,求三棱锥的体积的最大值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1)中点,连结,由已知可得为等边三角形,为等腰三角形,可得,进而可得平面平面,由勾股定理可证,再由面面垂直的性质定理即可证得平面平面

(2)结合图形可知当在点处,此时三棱锥的体积最大,而,故只需求三棱锥的体积即可.

如图,取中点,连结

因为的中点,所以

又底面为菱形,所以,又

所以为等边三角形,又的中点,

所以,又平面

所以平面,又平面

所以平面平面

又在等边三角形中,,所以

又在中,,所以

所以,所以

又平面平面平面

所以平面,又平面

所以平面平面.

(2)当在点处,此时三棱锥的体积最大,

因为

在菱形中,

所以

(1)平面

所以

所以三棱锥的体积的最大值为.

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