题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面为菱形,且,,.
(1)证明:平面平面;
(2)有一动点在底面的四条边上移动,求三棱锥的体积的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取中点,连结,,,由已知可得为等边三角形,为等腰三角形,可得,,进而可得平面平面,由勾股定理可证,再由面面垂直的性质定理即可证得平面平面;
(2)结合图形可知当在点处,此时三棱锥的体积最大,而,故只需求三棱锥的体积即可.
如图,取中点,连结,,,
因为,为的中点,所以,
又底面为菱形,所以,又,
所以为等边三角形,又为的中点,
所以,又,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面,
又在等边三角形中,,所以,
又在中,,,所以,
所以,所以,
又平面平面,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面.
(2)当在点处,此时三棱锥的体积最大,
因为,,,
在菱形中,,,
所以,
由(1)知平面,,
所以,
所以三棱锥的体积的最大值为.
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