题目内容
【题目】已知定义在R上的函数,其中a为常数.
(I)若x=1是函数的一个极值点,求a的值
(II)若函数在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围
(III)若函数,在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ) (Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(1)求出,由
是函数
的一个极值点可知
,解方程即可求
的值;(2)要使函数
在区间
上是增函数,分三种情况讨论,只需使求导函数
在区间
大于等于零恒成立即可求
的取值范围;(3)要使函数
,在
处取得最大值,需求函数
的极值并将之与函数端点值
进行比较大小,得出在函数
上的最大值只能为
或
,再根据条件在
处取得最大值,得到
即可求得正数
的取值范围.
试题解析:(I)
的一个极值点,
(II)①当a=时, 在区间(-1,0)上是增函数,
符合题意
②当
当a>0时,对任意符合题意
当a<0时,当符合题意
综上所述,
(III)
令
设方程(*)的两个根为式得
,不妨设
.
当时,
为极小值,所以
在[0,2]上的最大值只能为
或
当时,由于
在[0,2]上是单调递减函数,所以最大值为
,所以在[0,2]上的最大值只能为
或
,
又已知在x=0处取得最大值,所以
即
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值,利用单调性求参数的范围,属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法:① 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式
或
恒成立问题求参数范围,本题(3)是利用方法 ② 求解的.
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