Question

17．如图，函数y=2sin（$\frac{π}{2}$x+φ）  x∈R，其中0≤φ≤$\frac{π}{2}$的图象与y轴交于点（0，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求$\overrightarrow{PM}$和$\overrightarrow{PN}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数图象过点点（0，1），求得sinφ的值，可得φ的值．
（Ⅱ）由条件求得M、N、P的坐标，再根据cos＜$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$＞=$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}|•|\overrightarrow{PN}|}$，计算求得结果．

解答 解：（ I）因为函数图象过点点（0，1），所以2sinφ=1，即sinφ=$\frac{1}{2}$．
因为0≤φ≤$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{6}$．
（ II）由函数及其图象，得M（-$\frac{1}{3}$，0）、N （$\frac{5}{3}$，0）、P（$\frac{2}{3}$，2），
所以$\overrightarrow{PM}$=（-1，-2）、$\overrightarrow{PN}$=（1，-2），
从而cos＜$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$＞=$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}|•|\overrightarrow{PN}|}$=$\frac{-1+4}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．