Question

5．（1）设函数f（x）=|x-1|+$\frac{1}{2}$|x-3|，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若a，b，c都为正实数，且满足a+b+c=2，证明：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由条件把不等式的左边化为 $\frac{1}{2}$[3+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}+\frac{c}{b}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$]，再利用基本不等式证得结论．

解答 解：（1）根据f（x）=|x-1|+$\frac{1}{2}$|x-3|，由不等式f（x）＜2，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{1-x+\frac{1}{2}（3-x）＜2}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{x-1+\frac{1}{2}（3-x）＜2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-1+\frac{1}{2}（x-3）＜2}\end{array}\right.$③．
解①求得 $\frac{1}{3}$＜x≤1，解②求得1＜x＜3，解③求得 x∈∅，
综上可得，原不等式的解集为{x|＜x＜3}．
（2）∵a+b+c=2，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}{b}$+$\frac{a+b+c}{c}$]=$\frac{1}{2}$[3+$\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$+$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$]
=$\frac{1}{2}$[3+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}+\frac{c}{b}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$]≥$\frac{1}{2}$（3+2+2+2）=$\frac{9}{2}$，
当且仅当a=b=c时，取等号，故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥$\frac{9}{2}$成立．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，用基本不等式证明不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．