题目内容
【题目】用一个平面去截直立放置的圆柱，得圆柱的下半部分如图，其中
为截面的最低点，
为截面的最高点，
为线段
中点，
为截面边界上任意一点，作
垂直圆柱底面于点
，
垂直圆柱于底面于点
，
垂直圆柱于底面于点
，圆柱底面圆心为
。已知
为底面直径，在以为直径的圆周上，
垂直底面，
，
，
，以为原点，
为
轴正方向，圆柱底面为
平面，为
轴正方向建立空间直角坐标系，设点
。
（1）求点的坐标，并求出与
之间满足的关系式；
（2）三视图是解决立体几何问题时的有效工具，将圆柱下半部分在
平面上的投影作为主视图，在平面上的投影作为俯视图；在方框中作出主视图，并说明理由；再求出左视图所围区域的面积；
（3）判断截面的边界是什么曲线，并证明.再指出截面的面积（不需要证明）
【答案】（1）
;
（2）主视图见解析; 
（3）椭圆,证明见解析; 
【解析】
（1）根据
垂直圆柱于底面于点
,即可得的坐标;由于位于底面的圆周上,结合圆的方程即可得
与
之间满足的关系.
（2）根据几何体,可得主视图;画出左视图,即可求得左视图围成图形的面积.
（3）根据平面截圆柱形成截面性质可知所得截面为椭圆.根据椭圆的面积求法即可得截面面积.
（1）以
为原点,
为轴正方向,圆柱底面为
平面,
为
轴正方向建立空间直角坐标系
因为垂直圆柱于底面于点,且
所以
因为底面是以为圆心的圆,即位于圆上,圆心为
,半径为1
所以与之间满足的关系为
（2）主视图分别为
在
平面上的投影,所以主视图如下所示:
左视图如下图所示:
该部分的面积为
（3）将圆柱补充完整,并作两个内切球,分别切截面于
.过点
作
与两个内切球分别交于
由切线长定理可知,
所以
由于
为定值,所以由椭圆定义可知,动点的轨迹为椭圆,即截面的边界是椭圆
,
所以截面面积为
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