Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若在区间上存在不相等的实数,使成立，求的取值范围；

（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的单调增区间为，，单调减区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将代入函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为求使函数在上不为单调函数的的取值范围，通过讨论的范围，得到函数的单调性，进而求出的范围；（Ⅲ）先求出函数的导数，找到函数的极值点，从而证明出结论.

试题解析：（Ⅰ）当时，，．

由，解得，.

当时，＞0，f(x)单调递增；

当时，＜0，f(x)单调递减；

当时，＞0，f(x)单调递增．

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为

（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围.

.设，则，.

因为函数在上为增函数，当，

即当时，函数在上有且只有一个零点，设为.

当时，，即，为减函数；

当时，，即，为增函数，

满足在上不为单调函数.

当时，，，所以在上成立

（因在上为增函数），所以在上成立，

即在上为增函数，不合题意.

同理时，可判断在上为减函数，不合题意.综上

(Ⅲ) ．

因为函数有两个不同的极值点，即有两个不同的零点，

即方程的判别式，解得.

由，解得，．

此时，.

随着变化时，和的变化情况如下：

	＋		－	0	＋
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以是函数的极大值点，是函数的极小值点.

所以为极大值，为极小值．

所以

因为，所以．所以