题目内容
已知椭圆:的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为,是椭圆上异于的任意一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为,是椭圆上异于的任意一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值.
(1);(2)定值为2,证明见解析.
试题分析:(1)根据椭圆的离心率、长轴与短轴的关系建立的方程可求得椭圆的方程;;(2)设,然后用此点坐标分别表示出、的方程,然后根据直线与圆相切性质、平面几何知识化为的关系,进而确定其为定值.
试题解析:(1)由题意可得,得 ①.
又,即 ②,
解①②,得,
∴椭圆的方程为.
(2)由(1)知,设,则
直线的方程为,令,得.
直线的方程为,令,得.
设,则
=,
,
∴=.
∵,即,
∴=,∴,即线段的长为定值2.
练习册系列答案
相关题目