题目内容

已知椭圆的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.

(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上异于的任意一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值.
(1);(2)定值为2,证明见解析.

试题分析:(1)根据椭圆的离心率、长轴与短轴的关系建立的方程可求得椭圆的方程;;(2)设,然后用此点坐标分别表示出的方程,然后根据直线与圆相切性质、平面几何知识化的关系,进而确定其为定值.
试题解析:(1)由题意可得,得  ①.
,即   ②,
解①②,得
∴椭圆的方程为
(2)由(1)知,设,则
直线的方程为,令,得
直线的方程为,令,得
,则



,即
,∴,即线段的长为定值2.
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