题目内容
如图,已知点是离心率为的椭圆:上的一点,斜率为的直线交椭圆于,两点,且、、三点互不重合.
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
(1);(2)详见解析
试题分析:(1)根据题意及列方程组可得的值。即可得此椭圆方程。(2)设出的坐标及直线的方程与椭圆方程联立消掉可得关于的方程,根据题意可知判别式应大于0,根据韦达定理可得此方程的两根之和与两根之积。即点横坐标间的关系,代入直线方程,可得点纵坐标之间的关系。然后根据斜率公式可得斜率之和,将其化简问题即可得证。
试题解析:由题意,可得,代入
得,又, 2分
解得,,,
所以椭圆的方程. 5分
(2)证明:设直线的方程为,又三点不重合,∴,设,,
由得
所以
① ② 8分
设直线,的斜率分别为,,
则
(*) 10分
将①、②式代入(*),
整理得,
所以,即直线的斜率之和为定值. 12分
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