题目内容
如图,点为椭圆右焦点,圆与椭圆的一个公共点为,且直线与圆相切与点。
(1)求的值及椭圆的标准方程;
(2)设动点满足,其中是椭圆上的点,为原点,直线与的斜率之积为,求证:为定值。
(1)求的值及椭圆的标准方程;
(2)设动点满足,其中是椭圆上的点,为原点,直线与的斜率之积为,求证:为定值。
(1),;(2)详见解析
试题分析:(1)由圆的方程可知圆心为,半径为。因为在圆上所以它与圆心间的距离等于半径,可求得的值。有的值后便可求的切线的方程,与轴交点即为椭圆的右焦点。从而可得椭圆的方程。(2)设,根据可得与间的关系。将代入椭圆方程再根据直线与的斜率之积为可得间的关系,即间的关系。
试题解析:解:(1)由题意可知,又 又 2分
在中,,
故椭圆的标准方程为: 6分
(2)设
∵M、N在椭圆上,∴
又直线OM与ON的斜率之积为,∴,
于是
故为定值 13分
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