题目内容
【题目】已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N+）．
（1）设bn=an+1+an（n∈N+），求证{bn}是等比数列；
（2）（i）求数列{an}的通项公式；
（ii）求证：对于任意n∈N+都有 
+ 
+…+ 
+ 
＜ 
成立．
【答案】
（1）证明：已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N+）．
则：an+1+an=3（an+an﹣1）
即： 
，
所以： 
，
数列{bn}是等比数列．
（2）解：（i）由于数列{bn}是等比数列．
则： 
，
整理得： 
所以： 
则： 
是以（ 
）为首项，﹣1为公比的等比数列．
所以： 
求得： 
（ii）由于： ，
所以： 
，
则：（1）当n为奇数时， 
，
当n为偶数时， 
，
所以： 
= 
…+ 
+ 
，
所以：n∈k时，对任意的k都有 
恒成立
【解析】（1）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列．（2）（i）根据（1）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式．（ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
才能正确解答此题．
名校课堂系列答案
【题目】某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
| A | B | C |
甲 | 4 | 8 | 3 |
乙 | 5 | 5 | 10 |
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．
