题目内容
【题目】已知函数恰有两个极值点
,且
.
(1)求实数的取值范围;
(2)若不等式恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,
,
,令
,
,由此利用导数性质能求出实数a的取值范围.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
,两式相减,得
,
,从而
,令
,,得
,令
,则
,令
,则
,,由此利用分类讨论思想,结合导数性质能求出实数
的取值范围.
试题解析:
(1)因为,
依题意得为方程
的两不等正实数根,
∴,
,
令,
,
当时,
;
当时,
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
,
当时,
,
所以
∴
解得,
故实数的取值范围是
.
(2)由(1)得, ,
,两式相加得
,
故
两式相减可得,
故
所以等价于
,
所以
所以,
即,
所以,
因为,令
,所以
即,令
,
则在
上恒成立,
,
令,
①当时,
所以
在
上单调递减,
所以
在
上单调递增,
所以符合题意
②当时,
所以
在
上单调递增
故
在
上单调递减,
所以不符合题意;
③当时,
所以在
上单调递增,
所以所以
在
上单调递减,
故不符合题意
综上所述,实数的取值范围是
.
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