题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1 ， l2分别与直线y=x相交于A，B两点．
（1）若离心率为 
，求椭圆的方程；
（2）当 
＜7时，求椭圆离心率的取值范围．
【答案】
（1）解：椭圆的右焦点F（m，0），故焦点在x轴上，设椭圆方程为： 
（a＞b＞0），
∴c=m，准线方程为：x= 
=m+1，
∴a2=m（m+1），b2=m …2分
由e= 
= 
= 
，可得b=c，从而m=1，
故a= 
，b=1，
∴椭圆方程： 
；
（2）解：由题意可知：A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），
∴ 
=（2m+1，m+1）， 
=（1，m+1），
故 =2m+1+（m+1）2=m2+4m+2＜7，
解得：0＜m＜1，…12分
由离心率e= = 
= 
，
故所求的离心率范围为（0， ）．
【解析】（1）由题意可知： （a＞b＞0），由准线方程为：x= =m+1，即可求得a2=m（m+1），b2=m，由e= = = ，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），求得 =（2m+1，m+1）， =（1，m+1），由 =m2+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由离心率e= 
= = ，即可求得椭圆离心率的取值范围．
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