Question

7．已知x+y=1，x⁴+y⁴的最小值是$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由条件可得y=1-x，设f（x）=x⁴+（1-x）⁴，求出导数，求得单调区间，可得最小值．

解答 解：x+y=1，即y=1-x，
x⁴+y⁴=x⁴+（1-x）⁴，
由f（x）=x⁴+（1-x）⁴，
导数f′（x）=4x³-4（1-x）³，
由f′（x）=0，可得x=$\frac{1}{2}$，
当x＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=$\frac{1}{2}$处取得最小值，且为$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，判断单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．