Question

20．已知函数f（x）=e^x-x-1（x≥0），g（x）=-x²+4x-3，若f（a）=g（b），则b的最大值是3．

Answer 1

分析 由已知中函数的解析式可得f（x）≥f（0）=0，而g（x）≥0时，b∈[1，3]，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=e^x-x-1（x≥0），
∴f′（x）=e^x-1（x≥0），
∵f′（x）≥0恒成立（x≥0），
∴f（x）≥f（0）=0，
即函数f（x）=e^x-x-1（x≥0）的最小值为0，
又∵g（x）=-x²+4x-3的图象是开口朝下，且以直线x=2为对称轴，且与x轴交于（1，0），（3，0）点的抛物线，
若f（a）=g（b），
则b∈[1，3]，
即b的最大值是3，
故答案为：3

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其应用，指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，是函数的图象和性质的简单综合应用，难度中档．