Question

8．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为$\frac{1}{2}$，乙每次击中目标的概率为$\frac{2}{3}$．
（1）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列及数学期望E（X）；
（2）求乙至多击中目标2次的概率；  
 （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意得甲击中目标的次数X为0、1、2、3，根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，从而可得X的分布列和期望；
（2）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，由对立事件的概率公式得到要求的概率；
（3）甲恰比乙多击中目标2次包含甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次和甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，且这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果

解答 解：（1）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，
当X=0时表示没有击中目标，P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
当X=1时表示击中目标1次，P（X=1）=${C}_{3}^{1}{（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{3}{8}$，
当X=2时表示击中目标2次，P（X=2）=${C}_{3}^{2}{（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{3}{8}$，
当X=3时表示击中目标3次，P（X=3）=${C}_{3}^{3}{（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴X的概率分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

E（X）=0×$\frac{1}{8}$+1×$\frac{3}{8}$+2×$\frac{3}{8}$+3×$\frac{1}{8}$=1.5或E（X）=3×$\frac{1}{2}$=1.5．
（2）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，
乙能击中3次的概率P=C${\;}_{3}^{3}$（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
故乙至多击中目标2次的概率为1-C${\;}_{3}^{3}$（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{19}{27}$．
（3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B₁，
甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B₂，则A=B₁+B₂，B₁、B₂为互斥事件，
P（A）=P（B₁）+P（B₂）=$\frac{3}{8}$×$\frac{1}{27}$+$\frac{1}{8}$×$\frac{2}{9}$=$\frac{1}{24}$．

点评 本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，属于中档题