题目内容
【题目】如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.
【答案】
(1)解:以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,
则由题意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),
A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),
∴ ,
=(1,﹣1,﹣4),
∴cos< >=
=
=
,
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为
(2)解: 是平面ABA1的一个法向量,
设平面ADC1的法向量为 ,
∵ ,
∴ ,取z=1,得y=﹣2,x=2,
∴平面ADC1的法向量为 ,
设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ,
∴cosθ=|cos< >|=|
|=
,
∴sinθ= =
.
∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为 .
【解析】(1)以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.(2)分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量,利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值,再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.
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