题目内容
【题目】如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点． 
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．
【答案】
（1）解：以{ 
}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），
∴ 
， 
=（1，﹣1，﹣4），
∴cos＜ 
＞= 
= 
= 
，
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为
（2）解： 
是平面ABA1的一个法向量，
设平面ADC1的法向量为 
，
∵ 
，
∴ 
，取z=1，得y=﹣2，x=2，
∴平面ADC1的法向量为 
，
设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，
∴cosθ=|cos＜ 
＞|=| 
|= 
，
∴sinθ= 
= 
．
∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为 ．
【解析】（1）以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．
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