Question

（2008•湖北模拟）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.3万元/辆，年销售量为50000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆投入成本增加比例为x（0＜x＜1），则出厂价格相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润关于x的函数关系式；
（Ⅱ）若年销售量关于x的函数为y=3240(-x2+2x+

5

3

)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析：（I）根据年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．可设年利润为y，从而可以构建函数关系式；
（Ⅱ）根据年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量可得函数关系式，再利用导数法求最值．

解答：解：（I）设年利润为y，则有y=[1.3（1+0.7x）-1×（1+x）]50000（1+0.4x）=50（-36x²+30x+300）．
即y=-1800x²+1500x+15000，x∈（0，1）．（4分）
（Ⅱ）依题意年利润f(x)=[1.3(1+0.7x)-1×(1+x)]×3240(-x2+2x+

5

3

)，  x∈(0，  1)
即f(x)=

162

5

(9x3-48x2+45x+50)，  x∈(0，  1)．（6分）
要求f（x）的最大值，即求g（x）=9x³-48x²+45x+50，x∈（0，1）的最大值．g'（x）=27x²-96x+45．
由g'（x）=0得x=

5

9

或x=3（舍）．（8分）
当x∈(0，  

5

9

)时，g'（x）＞0；当x∈(

5

9

，  1)时，g'（x）＜0．
∴x=

5

9

时，g（x）有最大值，g(x)max=g(

5

9

)=

5000

81

．（10分）
∴f(x)max=f(

5

9

)=

162

5

×

5000

81

=2000．（11分）
答：当x=

5

9

时，本年度年利润最大为2000万元．（12分）

点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查二次函数模型的构建，关键是利用年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．同时考查导数法求函数的最值．