题目内容
7.已知f(x)=lnx-ax(1)讨论f(x)单调性.
(2)若f(x)在(1,2)上单调递减,求实数a的范围.
分析 (1)求出f(x)的导数,对a进行分类讨论,利用导数的正负性讨论函数的单调性;
(2)由(1)的结论知,(1,2)是区间($\frac{1}{a}$,+∞)的子集,求出a的取值范围.
解答 解;(1)定义域为(0,+∞),
${f}^{′}(x)=\frac{1}{x}-a$=$\frac{1-ax}{x}$,
①当a≤0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,
②当a>0时,由f′(x)=0得,x=$\frac{1}{a}$,当x∈(0,$\frac{1}{a}$)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈($\frac{1}{a}$,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
∴当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,f(x)在(0,$\frac{1}{a}$)上单调递增,在($\frac{1}{a}$,+∞)上单调递减;
(2)由(1)知(1,2)⊆($\frac{1}{a}$,+∞)
∴$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\frac{1}{a}≤1}\end{array}\right.$∴a≥1,即a的取值范围为[1,+∞).
点评 本题考查了函数的单调性,运用了分类讨论思想,属于中档题.
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A. | 30° | B. | 75° | C. | 90° | D. | 120° |