已知平面直角坐标系xOy中.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右顶点和上顶点分别为A.B.椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.且过点(1.$\frac{\sqrt{3}}{2}$)．(1)求椭圆的标准方程,(2)如图.若直线l与该椭圆交于点P.Q两点.直线BQ.AP的斜率互为相反数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．
①求证：直线l的斜率为定值；
②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S₁，S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值．

分析（1）通过将点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程，结合离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$计算即得结论；
（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通过设直线AP的方程为x=my+2、直线BQ的方程为x=-my+m，分别与椭圆方程联立，计算可知P（$\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$）、Q（$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$），利用斜率计算公式计算即可；②通过（1）可知直线AB的方程为x+2y-2=0，|AB|=$\sqrt{5}$，通过①可知P（$\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$）、Q（$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$），利用点P在第一象限可知-2＜m＜0，分别计算出点P、Q到直线AB的距离，利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．

解答（1）解：依题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
化简得：$\left\{\begin{array}{l}{4{b}^{2}+3{a}^{2}=4{a}^{2}{b}^{2}}\\{{a}^{2}=4{b}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线BQ，AP的斜率均存在且不为0．
①证明：设直线AP的方程为：x=my+2，则直线BQ的方程为：x=-my+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（4+m²）y²+4my=0，
∴P（$\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-my+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（4+m²）y²-2m²y+m²-4=0，
∴Q（$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$），
∴直线l的斜率为$\frac{\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}+\frac{4m}{4+{m}^{2}}}{\frac{8m}{4+{m}^{2}}-\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}}$=$\frac{{m}^{2}+4m-4}{2{m}^{2}+8m-8}$=$\frac{1}{2}$；
②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y-2=0，|AB|=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由①可知：P（$\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$），Q（$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$），
∵点P在第一象限，
∴$\frac{1}{m}$＜-$\frac{1}{2}$，即-2＜m＜0，
∴点P到直线AB的距离d_P=$\frac{|\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}-2×\frac{4m}{4+{m}^{2}}-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=-$\frac{4{m}^{2}+8m}{\sqrt{5}（4+{m}^{2}）}$，
点Q到直线AB的距离d_Q=$\frac{|\frac{8m}{4+{m}^{2}}+2×\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{16-8m}{\sqrt{5}（4+{m}^{2}）}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}|AB|{d}_{P}}{\frac{1}{2}|AB|{d}_{Q}}$=$\frac{{m}^{2}+2m}{2m-8}$=$\frac{1}{2}$[（m-4）+$\frac{24}{m-4}$+10]，
∵（4-m）+$\frac{24}{4-m}$≥2$\sqrt{（4-m）•\frac{24}{4-m}}$=4$\sqrt{6}$，当且仅当4-m=$\frac{24}{4-m}$即m=4-2$\sqrt{6}$时取等号，
∴（m-4）+$\frac{24}{m-4}$≤-4$\sqrt{6}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值为$\frac{1}{2}$（10-4$\sqrt{6}$）=5-2$\sqrt{6}$．