Question

8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）．
（1）求f（0），f（-1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）代值即可求解；
（2）设x＜0，则-x＞0代入已知解析式可求解．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）
∴f（0）=0…（2分）
f（-1）=f（1）=-1…（4分）
（2）令x＜0，则-x＞0，
f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）=f（x）
∴x＜0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）…（8分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x≥0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x+1），x＜0}\end{array}\right.$…（10分）

点评 本题为函数的性质的应用，正确运用函数的奇偶性，单调性是解决问题的关键，属中档题．