Question

12．已知圆C₁：x²+y²=$\frac{2}{5}$，直线l：y=x+m（m＞0）与圆C₁相切，且交椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）于A₁，B₁两点，c是椭圆C₂的半焦距，c=$\sqrt{3}$b．
（1）求m的值；
（2）O为坐标原点，若$\overrightarrow{O{A}_{1}}$⊥$\overrightarrow{O{B}_{1}}$，求椭圆C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）运用直线和圆相切的条件：d=r，由点到直线的距离公式，计算可得m的值；
（2）设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用向量垂直的条件：数量积为0，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，得到a，b的方程，解方程即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程．

解答 解：（1）C₁：x²+y²=$\frac{2}{5}$的圆心为（0，0），半径为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
直线l：y=x+m（m＞0）与圆C₁相切，可得
$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{O{A}_{1}}$⊥$\overrightarrow{O{B}_{1}}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
即为x₁x₂+（x₁+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）（x₂+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=0，
化简为2x₁x₂+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x₁+x₂）+$\frac{4}{5}$=0，
由y=x+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$代入椭圆方程可得，
（b²+a²）x²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a²x+$\frac{4}{5}$a²-a²b²=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{\frac{4}{5}{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由2•$\frac{\frac{4}{5}{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\frac{4}{5}$=0，
又c=$\sqrt{3}$b，a²-b²=c²，
解方程可得a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+2y²=1．

点评 本题考查直线和圆相切的条件：d=r，考查椭圆方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，由韦达定理，以及向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．