Question

14．在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，
（1）若a=2且（2+b）•（sinA-sinB）=（c-b）sinC，求△ABC面积S的最大值
（2）△ABC为锐角三角形，且B=2C，若$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinB），求|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可将已知条件化成a²-b²=c²-bc，再用余弦定理得出A，利用余弦定理和基本不等式可得出bc≤4，带入面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA即可就出最大值．
（2）展开得|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|²=13-12sinC，然后利用△ABC为锐角三角形，且B=2C判断C的范围．

解答 解：（1）∵（2+b）•（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴（2+b）•（a-b）=（c-b）c，
∵a=2，
∴（a+b）•（a-b）=（c-b）c，
即a²-b²=c²-bc，
∴bc=b²+c²-a²．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc≥bc，
∴bc≤a²=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}bc}{4}$≤$\sqrt{3}$．当且仅当b=c时取等号．
∴△ABC的面积最大值为$\sqrt{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinB），
∴${\overrightarrow{m}}^{2}$=1，${\overrightarrow{n}}^{2}$=1，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC．
∴|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|²=9${\overrightarrow{m}}^{2}$-12$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+4${\overrightarrow{n}}^{2}$=13-12sinC．
∵△ABC为锐角三角形，
∴0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$．
∵B=2C，A+B+C=π，
∴C=$\frac{π-A}{3}$
∴$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{4}$．
∴$\frac{1}{2}$＜sinC＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴13-6$\sqrt{2}$＜13-12sinC＜7．
∴|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|²的取值范围是（13-6$\sqrt{2}$，7）．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，向量运算及三角函数，属于中档题．