题目内容
【题目】如图①,有一个等腰直角三角板垂直于平面
,有一条长为7的细线,其两端分别位于
处,现用铅笔拉紧细线,在平面
上移动.
图① 图②
(1)图②中的的长为多少时,
平面
?并给出证明.
(2)在(1)的情形下,求三棱锥的高.
【答案】(1)当时,
平面
,证明见解析;(2)
.
【解析】
(1)若使得平面
,则需三角形
为直角三角形且
,当
时,根据线面线面垂直的判定定理,证明即可.
(2)方法一,过点作
于点
,由(1)可知,
,则
平面
,即
为三棱锥
的高,在
中计算
,再根据
,求解即可. 方法二,设三棱锥
的高为
,根据
,求解即可.
(1)当时,
平面
.证明如下:
若,则
因为,所以
所以三角形为直角三角形,且
.
又因为平面平面
,平面
平面
,
平面
所以平面
.
因为平面
所以.
又因为平面
,
平面
,
.
所以平面
.
(2)方法一 如图,过点作
于点
.
由(1)知平面
,
平面
所以.
又平面
,
平面
,
,
所以平面
,即
为三棱锥
的高.
由于平面
,所以
,
由,得
.即三棱锥
的高为
.
方法二 由(1),知平面
,
平面
所以.
又,
所以,即
.
设三棱锥的高为
,则
.
又,
且,所以
,即
.
所以三棱锥的高为
.
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