题目内容
【题目】在一条长36cm的直尺上刻划n条刻度,使得用该尺能一次性度量中的任意整数cm的长度,试求n的最小值.
【答案】见解析
【解析】
如果该尺上刻划7条(或不足7条)刻度,我们可证明达不到一次性度量[1,36]中的任意整数cm长度的要求.
事实上,7条刻度连同尺的两条端线共9条,在这9条线中任取2条(每一种取法对应一种度量长度)有36种不同的取法,即7条刻度至多只能度量36种不同的长度.
7条刻度把整个直尺分割成8段,若存在某两段的长度相等,则此时度量的不同长度要小于36种,显然达不到度量要求.
在7条刻度把直尺分割的8段中若没有任何两段长度相等,注意到1+2+3+4+5+6+7+8=36.易知此时长度为1cm,2cm,…,8cm各一段。
1 如果长度为1cm的段不在尺的一端,则不能度量35cm;
若长度为2cm的段不在尺的一端,则不能度量34cm.
2 如果长为1cm的段在尺的一端,长为2cm的段在尺的另一端,此时若长为3cm的段不与长为1cm的段相邻,则不能度量32cm;
若长为3cm的段与长为1cm的段相邻,则不能度量31cm.
由此可见,为达到度量要求,尺上的刻度数不少于8条.
8条刻度把支持分割为9段
9段的长度依次为1,2,3,7,7,7,4,4,1时
实施知可实现一次性度量[1,36]中的任意整数cm的长度.
故本题结论为:n的最小值为8.
即在一条长36cm的直尺上至少要刻划8条刻度,才可能实现(上述给出的刻度分布为一种实现方法)用该尺一次性度量[1,36]中的任意整数cm的长度.
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