题目内容
【题目】已知.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设,
,
为函数
的两个零点,求证:
.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析: (Ⅰ)根据导数,分类讨论,当
时,
;当
时,
,由
得,
时,
,
时,
,即可得出单调区间;(Ⅱ)由(Ⅰ)知
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.不妨设
,由条件知
,即
,构造函数
,
与
图像两交点的横坐标为
,
,利用单调性只需证
构造函数利用单调性证明.
试题解析:(Ⅰ) ,
当时,
,即
的单调递增区间为
,无减区间;
当时,
,由
得
时,
,
时,
,
时,易知
的单调递增区间为
,单调递减区间为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
不妨设,由条件知
,即
构造函数,
与
图像两交点的横坐标为
,
由可得
,
而,
知在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
可知
欲证,只需证
,即证
考虑到在
上递增,只需证
由知,只需证
令,
则
即单增,又
,
结合知
,即
成立,
即成立
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