题目内容

3.定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)=x2-x
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的最小值;
(3)根据图象求函数f(x)的单调区间.

分析 (1)由y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-x,知当x<0时,f(x)=f(-x)=x2+x,由此能求出f(x)的解析式.
(2)作出函数f(x)的图象,可得函数f(x)的最小值;
(3)结合图象,能求出f(x)的单调区间.

解答 解:(1)∵y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-x,
当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x,
∴f(x)=f(-x)=x2+x,
∴f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x,x≥0}\\{{x}^{2}+x,x<0}\end{array}\right.$.
(2)作出函数f(x)的图象如下

函数f(x)的最小值为-$\frac{3}{4}$;
(3)根据图象知f(x)的增区间是(-$\frac{1}{2}$,0),($\frac{1}{2}$,+∞);减区间是(-∞,-$\frac{1}{2}$),(0,$\frac{1}{2}$).

点评 本题考查函数的解析式的求法,考查函数图象的作法,考查函数的单调区间的求法,解题时要认真审题,仔细解答.

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