题目内容
3．设an=$\frac{1}{n}$sin$\frac{nπ}{5}$，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…，S2014中，正数的个数是（ ）| A． | 806 | B． | 1007 | C． | 1612 | D． | 2014 |
分析 首先求出函数的周期，结合正弦函数的图象可得前4项为正，第5项为0，由诱导公式可得第6至9项为负，第10项为0，再由f（n）=$\frac{1}{n}$单调递减可得数列的S1，S2，…，S10都为正，同理可得S1，S2，…，S2014均为正．
解答 解：由于an=$\frac{1}{n}$sin$\frac{nπ}{5}$的周期T=10，
由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a4＞0，a5=0，a6，a7，…，a9＜0，a10=0，
且sin$\frac{6π}{5}$=-sin$\frac{π}{5}$，sin$\frac{7π}{5}$=-sin$\frac{2π}{5}$，…，
而f（n）=$\frac{1}{n}$单调递减，
a6…a9都为负数，但是|a6|＜a1，|a7|＜a2，…，|a9|＜a4，
∴S1，S2，…，S5中都为正，而S6，S7，…，S10都为正，
同理S11，S12，…，S20都为正，
S1，S2，…，S2014都为正，
故选：D．
点评 本题考查由数列的通项公式求数列的前n项和，考查三角函数的图象和性质，关键是对于规律的发现，是中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{7}{9}$ | B． | $\frac{7}{8}$ | C． | $\frac{19}{20}$ | D． | $\frac{8}{7}$ |