题目内容

(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分.(Ⅱ)小问6分)
设各项均为正数的数列{an}满足.
(Ⅰ)若a3,a4,并猜想a2008的值(不需证明);
(Ⅱ)若n≥2恒成立,求a2的值。
(Ⅰ)见解析。
(Ⅱ)
本题主要考查数列、等比数列以及不等式等基本知识,考查学生的探索、化归的数学思想与推理能力。
(I)因

由此有,故猜想的通项为

从而
(Ⅱ)令xn=log2an.则,故只需求x2的值。
Sn表示xn的前n项和,则a1a2an=,由2a1a2an<4得
Snx1+x2+…+xn<2    (n≥2).
因上式对n=2成立,可得x1+x2,又由a1=2,得x1=1,故x2.
由于a1=2,(n∈N*),得(n∈N*),即

因此数列{xn+1+2xn}是首项为x2+2,公比为的等比数列,故
xn+1+2xn=(x2+2) (n∈N*).
将上式对n求和得
Sn+1x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2-)(n≥2).
Sn<2,Sn+1<2(n≥2)且x1=1,故
(x2+2)(2-)<5(n≥2).
因此n≥2).
下证x2,若不然,假设x2,则由上式知,不等式
2n1
n≥2恒成立,但这是不可能的,因此x2.
x2,故x2=,所以
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