题目内容
【题目】如图，已知
是圆柱
底面圆O的直径，底面半径
，圆柱的表面积为
，点
在底面圆
上，且直线
与下底面所成的角的大小为
.
(1)求
的长；
(2)求二面角
的大小的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
(1)根据母线
底面
，即可找出
与下底面所成的角的为
，从而在直角三角形
中，即可求出
；
(2) 以
为坐标原点，以
、
分别为
、
轴建立空间直角坐标系,写出所需点的坐标，分别求出平面
和平面
的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角
的大小的余弦值.
(1)设圆柱的母线长为
，则根据已知条件可得，
，
，解得
，因为底面，所以是在底面上的射影，所以是直线与下底面所成的角，即
在直角三角形中，
，
，
(2)因为
是底面直径，，所以
以为坐标原点，以、分别为、轴建立空间直角坐标系,如图所示，
则
、
、
、
，
于是
,
，设平面
的一个法向量为
，
则
即
不妨令
，即平面的一个法向量
，
因为平面
的一个法向量为
，
设二面角的大小为
，则
，
由于二面角为锐角，所以二面角的大小的余弦值是．
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【题目】依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示.
（1）试估计该河流在8月份水位的众数；
（2）我们知道若该河流8月份的水位小于40米的频率为f，该河流8月份的水位小于40米的情况下发生1级灾害的频率为g，则该河流8月份的水位小于40且发生1级灾害的频率为
，其他情况类似.据此，试分别估计该河流在8月份发生12级灾害及不发生灾害的频率
，
，
；
（3）该河流域某企业，在8月份，若没受12级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元.现此企业有如下三种应对方案:
方案 | 防控等级 | 费用（单位:万元） |
方案一 | 无措施 | 0 |
方案二 | 防控1级灾害 | 40 |
方案三 | 防控2级灾害 | 100 |
试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.
