Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）为椭圆上不同的三点，为坐标原点，若，试问：的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）是定值，定值为

【解析】

（Ⅰ）根据题意利用圆心到直线的距离与半径相等列出关于的关系,再根据一个焦点与上下顶点构成直角三角形可得,再联立求解即可.

（Ⅱ）分当斜率不存在与存在两种情况.当斜率存在时设直线,再联立方程写出韦达定理,再根据得出关于,的关系,代入化简可得，再求出面积的表达式,代入化简证明即可.

（Ⅰ）由题意知,

解得.则椭圆C的方程是：

（Ⅱ）①当斜率不存在时,不妨设,,

②设由

设,,则,.

由 ,代入有,化简可得

原点到的距离,

故

综上：的面积为定值