题目内容
【题目】已知椭圆与抛物线y2＝
x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若
，求△AOB的面积．
【答案】（1）
；（2）
【解析】试题分析:(1)先求椭圆焦点得c，再根据离心率列方程组可得a＝2，b2＝2 (2)将OP视为底，根据三角形面积公式得S＝
|OP|·|x1－x2|，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得|x1－x2|，最后根据
解出k，代入解得△AOB的面积．
试题解析：解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为
＋
＝1(a>b>0)，
由题意可得c＝
，又e＝
＝
，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆的标准方程为
＋
＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
＝2
，得
设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得
(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
∴x1＋x2＝－
，x1·x2＝－
.
将x1＝－2x2代入上式整理可得，
2＝
，
解得k2＝
.
∴△AOB的面积S＝
|OP|·|x1－x2|
＝
＝·
＝
.
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