Question

【题目】已知函数，且．

（1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

（2）设函数，当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：对问题（1）根据导数与函数单调性的关系并结合对参数的讨论，即可求得实数的取值范围；对问题（2）可以设，问题可转化为当时，恒成立，利用导数与函数单调性的关系并结合对实数的讨论，即可求得恒成立时实数的取值范围.

试题解析：（1）因为函数在区间上是减函数，则，

即在上恒成立．

当时，令得，

①若，则，解得；② 若，则，解得．

综上，实数的取值范围是

（2）令，则，

根据题意，当时，恒成立．

所以，

①当时，时，恒成立，

所以在上是增函数，且，所以不符合题意

②当时，时，恒成立，

所以在上是增函数，且，所以不符合题意．

③当时，时，恒有，故在是减函数，

于是“对任意都成立”的充要条件 是，

即，解得，故

综上，的取值范围是