题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,
,且
,
,
,点
在
上.
(1)求证:;
(2)若二面角的大小为
,求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
试题第一问应用空间的垂直关系的转换,应用线面垂直得出线线垂直的
关系,第二问根据所给的二面角的大小,结合空间向量,从而确定出
点的位置,再用空间向量确定出线面角的正弦值.
试题解析:(Ⅰ)如图,设为
的中点,连结
,则
,所以四边形
为平行四边形,
故,又
,
所以,故
,
又因为平面
,所以
,
且,所以
平面
,故有
分
(Ⅱ)如图,以为原点,分别以射线
为
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
.
则,
设,易得
,
设平面的一个法向量为
,则
,
令得
,即
.
又平面的一个法向量为
,
由题知,解得
,
即,而
是平面
的一个法向量,
设平面与平面
所成的角为
,则
.
故直线与平面
所成的角的正弦值为
.
分
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