题目内容
【题目】已知点
在椭圆
上，过点作
轴于点
（1）求线段
的中点的轨迹
的方程
（2）设
、
两点在（1）中轨迹上，点
，两直线
与
的斜率之积为
，且（1）中轨迹上存在点
满足
，当
面积最小时，求直线
的方程．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）设线段
的中点为
，得出点
的坐标为
，然后代入椭圆方程并化简后得出所求轨迹方程；
（2）设直线
的方程为
，设点
、
，将直线的方程与椭圆联立，消去
，并列出韦达定理，利用直线
和
的斜率之积得出
，可得出
，由
知
，于是得出直线
的方程为
，将该直线与椭圆方程联立并结合两点间的距离公式得出
，最后利用三角形的面积公式以及基本不等式求出
面积的最小值，利用基本不等式等号成立的条件求出
的值，即可求出直线的方程。
（1）设线段
的中点为
，则
，
，
即；
（2）设直线
，
，
，
，
，
联立
，得
．
，
．
，
得到．
则为
，解得
，同理
．
，
．
当
，即
时，
有最小值为
．
此时直线的方程为．
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【题目】某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
的包裹收费
元；重量超过
的包裹，除
收费
元之外，超过
的部分，每超出
（不足
，按
计算）需再收
元.该公司将最近承揽的
件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位： |
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包裹件数 |
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公司对近
天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围 |
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包裹件数 （近似处理） |
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天数 |
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以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来
天内恰有
天揽件数在
之间的概率；
（2）（i）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（ii）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员
人，每人每天揽件不超过
件，工资
元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减
人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
