题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的左、右焦点分别为
离心率为
,两准线之间的距离为8,点
在椭圆
上,且位于第一象限,过点
作直线
的垂线
,过点
作直线
的垂线
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线的交点
在椭圆
上,求点
的坐标.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率公式求得,由椭圆的准线方程
,则
,即可求得
和
的值,则
,即可求得椭圆方程;(2)设
点坐标,分别求得直线
的斜率及直线
的斜率,则可求得
及
的斜率及方程,联立求得
点坐标,由
满足椭圆方程,求得
,结合
在椭圆E上,
联立即可求得
点坐标.
试题解析:(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以
,
,解得
,于是
,因此椭圆E的标准方程是
.
(2)由(1)知,,
.设
,因为
为第一象
限的点,故.当
时,
与
相交于
,与题设不符.
当时,直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
从而直线的方程
,① 直线
的方程
,②
由①②,解得,所以
.因为点
在椭圆上,由对称性,得
,即
或
.又
在椭圆E上,故
.
由,解得
;
,无解.因此点P的坐标为
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在
轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程
或
;③找关系:根据已知条件,建立关于
、
、
的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | ||||||
赞成人数 |
()完成被调查人员的频率分布直方图.
()若从年龄在
,
的被调查者中各随机选取
人进行追踪调查,求恰有
人不赞成的概率.
()在
在条件下,再记选中的
人中不赞成“车辆限行”的人数为
,求随机变量
的分布列和数学期望.