题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(Ⅰ)函数的图象能否与
轴相切?若能,求出实数
,若不能,请说明理由;
(Ⅱ)求最大的整数,使得对任意
,不等式
恒成立.
【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)3.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)若能与轴相切,则存在
,使得
,能求出
,说明存在,否则说明不存在;
(Ⅱ)把已知不等式变形为,由于
,因此只要函数
是增函数即可,由
中
得
,这是必要条件,其中最大整数是3,因此下面只要证
时,
恒成立.为此可分类,
时,
,代入可证有,
时,由
可证
,从而可得结论.
试题解析:
(Ⅰ)由于.
假设函数的图象与
轴相切于点
,
则有,即
.
显然代入方程
中得,
.
∵,∴无解.故无论
取何值,函数
的图象都不能与
轴相切.
(Ⅱ)依题意,
恒成立.
设,则上式等价于
,要使
对任意恒成立,即使
在
上单调递增,
∴在
上恒成立.
则,∴
在
上成立的必要条件是:
.
下面证明:当时,
恒成立.
设,则
,当
时,
,当
时,
,
∴,即
.那么,
当时,
;
当时,
,∴
恒成立.
因此,的最大整数值为 3.
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