Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax+1（a∈R），求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求导数可得f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，由函数的单调性和导数的关系分类讨论解不等式可得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax+1，
∴f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，
当a-1≥0时，f′（x）≥0，函数f（x）在R上单调递增；
当a-1＜0时，解f′（x）＞0可得x＞-1+$\sqrt{1-a}$或x＜-1-$\sqrt{1-a}$，
∴函数f（x）在（-∞，-1-$\sqrt{1-a}$）和（-1+$\sqrt{1-a}$，+∞）上单调递增；
解不等式f′（x）＜0可得-1-$\sqrt{1-a}$＜x＜-1+$\sqrt{1-a}$，
∴函数f（x）在区间（-1-$\sqrt{1-a}$，-1+$\sqrt{1-a}$）上单调递减．

点评 本题考查导数法研究函数的单调性，涉及分类讨论的思想，属基础题．