Question

12．在平面直角坐标系XOY中，圆C：（x-a）²+y²=a²，圆心为C，圆C与直线l₁：y=-x的一个交点的横坐标为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l₂与l₁垂直，且与圆C交于不同两点A、B，若S_△ABC=2，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由圆C与直线l₁：y=-x的一个交点的横坐标为2，可知交点坐标，代入求出a值，可得圆C的标准方程；
（2）直线l₂与l₁垂直，可设直线l₂：y=x+m，结合S_△ABC=2，求出m值，可得直线l₂的方程．

解答 解：（1）由圆C与直线l₁：y=-x的一个交点的横坐标为2，
可知交点坐标为（2，-2），
∴（2-a）²+（-2）²=a²，解得：a=2，
所以圆的标准方程为：（x-2）²+y²=4，
（2）由（1）可知圆C的圆心C的坐标为（2，0）
由直线l₂与直线l₁垂直，直线l₁：y=-x可设直线l₂：y=x+m，
则圆心C到AB的距离d=$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$，
|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{（2+m）^{2}}{2}}$
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{4-\frac{（2+m）^{2}}{2}}$•$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$=2
令t=（m+2）²，化简可得-2t²+16t-32=-2（t-4）²=0，
解得t=（m+2）²=4，
所以m=0，或m=-4
∴直线l₂的方程为y=x或y=x-4．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线垂直的充要条件，弦长公式，难度中档．