Question

17．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）记b_n=$\frac{n+1}{4{a}_{n}}$（n∈N⁺）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，S_n=2ⁿ+r，运用n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到r=-1；
（2）求得b_n=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由题意可得，S_n=2ⁿ+r，
n=1时，a₁=S₁=2+r，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
对n=1也成立，可得2+r=1，
解得r=-1；
（2）b_n=$\frac{n+1}{4{a}_{n}}$=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
前n项和T_n=2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
$\frac{1}{2}$T_n=2•$\frac{1}{8}$+3•$\frac{1}{16}$+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²，
化简可得前n项和T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．