Question

17．设数列{a_n}、{b_n}满足a₀=1，b₀=0，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=7{a}_{n}+6{b}_{n}-3}\\{{b}_{n+1}=8{a}_{n}+7{b}_{n}-4}\end{array}\right.$（n∈N），求证：a_n是完全平方数．

Answer 1

分析 a₀=1，b₀=0，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=7{a}_{n}+6{b}_{n}-3}\\{{b}_{n+1}=8{a}_{n}+7{b}_{n}-4}\end{array}\right.$（n∈N），可得a₁=4，b₁=4，由7a_n+1=49a_n+42b_n-21，6b_n+1=48a_n+42b_n-24，相减可得：6b_n+1-7a_n+1=-a_n-3，当n≥2时，b_n=$\frac{1}{6}（7{a}_{n}-{a}_{n-1}-3）$．代入可得：a_n+1=7a_n+7a_n-a_n-1-6，化为${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$=$14（{a}_{n}-\frac{1}{2}）$-$（{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，令${a}_{n}-\frac{1}{2}$=c_n，则c_n+1=14c_n-c_n-1，c₁=$\frac{1}{2}$，c₂=$\frac{97}{2}$．其特征方程为：x²-14x+1=0．解得x=7$±4\sqrt{3}$．令c_n=r₁$（7+4\sqrt{3}）^{n}$+${r}_{2}（7-4\sqrt{3}）^{n}$，分别令n=1，2，可得r₁=r₂=$\frac{1}{4}$．可得a_n．再利用二项式定理展开即可证明．

解答 解：∵a₀=1，b₀=0，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=7{a}_{n}+6{b}_{n}-3}\\{{b}_{n+1}=8{a}_{n}+7{b}_{n}-4}\end{array}\right.$（n∈N），
∴a₁=7a₀+6b₀-3=4，b₁=8a₀+7b₀-4=4，
a₂=7a₁+6b₁-3=49，b₂=8a₁+7b₁-4=56．
a₃=7a₂+6b₂-3=676．
由7a_n+1=49a_n+42b_n-21，6b_n+1=48a_n+42b_n-24，
相减可得：6b_n+1-7a_n+1=-a_n-3，
可得b_n+1=$\frac{1}{6}$（7a_n+1-a_n-3），
当n≥2时，b_n=$\frac{1}{6}（7{a}_{n}-{a}_{n-1}-3）$，
代入可得：a_n+1=7a_n+7a_n-a_n-1-6，
化为${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$=$14（{a}_{n}-\frac{1}{2}）$-$（{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，
令${a}_{n}-\frac{1}{2}$=c_n，
则c_n+1=14c_n-c_n-1，c₁=$\frac{1}{2}$，c₂=$\frac{97}{2}$．
其特征方程为：x²-14x+1=0．解得x=7$±4\sqrt{3}$．
令c_n=r₁$（7+4\sqrt{3}）^{n}$+${r}_{2}（7-4\sqrt{3}）^{n}$，
分别令n=1，2，
∴$\frac{7}{2}$=${r}_{1}（7+4\sqrt{3}）+{r}_{2}（7-4\sqrt{3}）$，
$\frac{97}{2}$=${r}_{1}（7+4\sqrt{3}）^{2}$+${r}_{2}（7-4\sqrt{3}）^{2}$，
解得r₁=r₂=$\frac{1}{4}$．
∴${a}_{n}={c}_{n}+\frac{1}{2}$=$\frac{（7+4\sqrt{3}）^{n}}{4}$+$\frac{（7-4\sqrt{3}）^{n}}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}[（2+\sqrt{3}）^{2n}+（2-\sqrt{3}）^{2n}]$+$\frac{1}{2}$=$[\frac{（2+\sqrt{3}）^{n}}{2}+\frac{（2-\sqrt{3}）^{n}}{2}]^{2}$．
而$\frac{（2+\sqrt{3}）^{n}+（2-\sqrt{3}）^{n}}{2}$为整数，
∴a_n是完全平方数．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的特征方程、二项式定理的应用、完全平方数，考查了推理能力与计算能力，属于难题．