Question

【题目】己知：f（x）＝（2－x）＋a（x－1）2 （a∈R）

（1）讨论函数f（x）的单调区间：

（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≤2，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)当时，函数在上递增，在上递减；当时，函数在

，上递减，在上递增；当时，函数在，上递减在上递增；当时，函数在R上递减;（2）孤立a,

【解析】试题分析：（1）求出导函数f’（x）＝，分类讨论得到函数f（x）的单调区间；（2）对任意的x∈R，都有f（x）≤2等价于a（x－1）2≤对任意的x∈R恒成立，当时，，记，求出的最小值即可.

试题解析：

（1）由f（x）＝（2－x）＋a（x－1）2，得：f’（x）＝,

当时，，函数在上递增，在上递减；

当时，函数在，上递减，在上递增；

当时，函数在，上递减在上递增；

当时，函数在R上递减;

（2）（2－x）＋a（x－1）2≤2对任意的x∈R恒成立，

等价于a（x－1）2≤对任意的x∈R恒成立.

当时，

当时，，记

,∴在上单调递减，上单调递增，上单调递减，上单调递增，

的最小值在，取到，经比较最小值为：

故.