题目内容
【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+3在x=2时取得最小值,且函数f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣mx的一个零点在区间(0,2)上,另一个零点在区间(2,3)上,求实数m的取值范围.
(3)当x∈[t,t+1]时,函数f(x)的最小值为﹣ ,求实数t的值.
【答案】
(1)解:因为二次函数f(x)=ax2+bx+3在x=2时取得最小值,
所以 =2,即b=﹣4a,
所以f(x)=ax2﹣4ax+3,
设函数f(x)的图象在x轴上的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),
所以|x1﹣x2|= ﹣2,
所以a=1.
所以f(x)=x2﹣4x+3
(2)解:g(x)=f(x)﹣mx=x2﹣(m+4)x+3
因为函数g(x)的一个零点在区间(0,2)上,另一个零点在区间(2,3)上.
所以
所以﹣ <a<0
(3)解:由(1)知,f(x)=x2﹣4x+3的对称轴是x=2,
①当t+1≤2时,即t≤1时,函数f(x)在区间[t,t+1]上是单调减函数,
所以当x=t+1时,函数取最小值t2﹣2t= ,
解得:t=1﹣ .
②当t<2<t+1时,即1<t<2时,
当x=2时,函数取最小值﹣1≠ ,
③当t≥2时,函数f(x)在区间[t,t+1]上是单调增函数,
所以当x=t时,函数取最小值t2﹣4t+3= ,
解得:t=2+ .
综合上所述,t=1﹣ 或t=2+
【解析】(1)由已知中二次函数f(x)=ax2+bx+3在x=2时取得最小值,且函数f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2.求出a,b值,可得函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)﹣mx的一个零点在区间(0,2)上,另一个零点在区间(2,3)上,则 ,解得实数m的取值范围.(3)由(1)知,f(x)=x2﹣4x+3的对称轴是x=2,分析给定区间与对称的位置关系,结合当x∈[t,t+1]时,函数f(x)的最小值为﹣ ,分类讨论,可得实数t的值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减.
【题目】近年来空气质量逐步恶化,雾霾天气现象增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关,在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查,得到如下的列联表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |||||||||
男 | 20 | 5 | 25 | ||||||||
女 | 10 | 15 | 25 | ||||||||
合计 | 30 | 20 | 50 | ||||||||
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |||||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | |||||
(1)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3位进行其他方面的排查,其中患胃病的人数为,求的分布列、数学期望.参考公式:,其中