题目内容
【题目】设函数.
(Ⅰ)讨论的极值;
(Ⅱ)若曲线和曲线
在点
处有相同的切线,且当
时,
,求
的取值范围 .
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)求出导函数,然后根据参数的取值判断出函数的单调性,进而得到极值.(Ⅱ)由两曲线的切线相同得
,设
,根据
,解得
.然后由
得
,再根据两根的大小对函数
的单调性进行分类讨论,通过分析是否满足题意可得所求参数的范围.
(Ⅰ)∵,
∴.
①当时,
恒成立,所以
在
上单调递增,无极值.
②当时,由
得
,
且当时,
单调递减;当
时,
单调递增.
所以当时,
有极小值,且
,无极大值.
③当时,由
得
,
且当时,
单调递增;当
时,
单调递减.
所以当时,
有极大值,且
,无极小值.
综上所述,当时,
无极值;
当时,
,无极大值;
当时,
,无极小值.
(Ⅱ)由题意得,
∵和
在点
处有相同的切线,
∴,即
,解得
,
∴.
令,
则,
由题意可得,解得
.
由得
.
①当,即
时,则
,
∴当时,
单调递减;当
时,
单调递增,
∴上的最小值为
,∴
恒成立.
②当,即
时,则
,
∴当时,
在
上单调递增,
又,
∴当时,
,即
恒成立.
③当,即
时,
则有,
从而当时,
不可能恒成立.
综上所述的取值范围为
.
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