题目内容
【题目】椭圆规是用来画椭圆的一种器械,它的构造如图所示,在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽,在直尺上有两个固定的滑块A,B,它们可分别在纵槽和横槽中滑动,在直尺上的点M处用套管装上铅笔,使直尺转动一周,则点M的轨迹C是一个椭圆,其中|MA|=2,|MB|=1,如图,以两条导槽的交点为原点O,横槽所在直线为x轴,建立直角坐标系.
(1)将以射线Bx为始边,射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π),用表示点M的坐标,并求出C的普通方程;
(2)已知过C的左焦点F,且倾斜角为α(0≤α)的直线l1与C交于D,E两点,过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G,H两点.当
,|GH|,
依次成等差数列时,求直线l2的普通方程.
【答案】(1),
;(2)
【解析】
(1)用三角函数表示出点M的坐标,直接利用转换关系把极坐标方程转换为直角坐标方程;(2)设出直线l1的参数方程,与椭圆方程联立利用直线参数的几何意义求出、
,根据题意有
,列出方程求出直线l1的斜率即可求得直线l2的方程.
(1)设M(x,y)依题意得:x=2cosφ,y=sinφ,
所以M(2cosφ,sinφ),
由于cos2φ+sin2φ=1,整理得.
(2)由于直线l1的倾斜角为α(),且l1⊥l2,
所以直线l2的倾斜角为,依题意易知:F(
),
可设直线l1的方程为(t为参数),
代入得到:
,
易知,
设点D和点E对应的参数为t1和t2,
所以,
.
则,
由参数的几何意义:,
设G、H对应的参数为t3和t4,同理对于直线l2,将α换为,
所以,
由于,|GH|,
依次成等差数列,
所以,则
,解得
,
所以,又
,所以
,
所以直线l2的斜率为,直线l2的直角坐标方程为x
.
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