题目内容

4.已知函数f(x)=cos2$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$,若f(α)=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$,求sin2α的值.

分析 利用倍角公式化简已知可得f(x)=$\frac{1}{2}$(cosx-sinx),可得cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$,两边平方利用倍角公式即可得解.

解答 解:∵f(x)=cos2$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1+cosx}{2}-\frac{1}{2}sinx-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$(cosx-sinx),
∴f(α)=$\frac{1}{2}$(cosα-sinα)=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$,可得:cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$,
∴两边平方可得:1-sin2α=$\frac{18}{25}$,
∴解得:sin2α=$\frac{7}{25}$.

点评 本题主要考查了二倍角的正弦公式,余弦函数公式的应用,属于基础题.

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